2017年高考数学知识方法专题8《第37练《二项式定理的两类重点题型--求指定项与求和》

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第37练　二项式定理的两类重点题型——求指定项与求和[题型分析·高考展望]　二项式定理的应用，是理科高考的考点之一，考查频率较高，一般为选择题或填空题，题目难度不大，为低、中档题.主要考查两类题型，一是求展开式的指定项，二是求各项和或系数和，只要掌握两类题型的常规解法，该部分题目就能会做.体验高考1.(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)A.10B.20C.30D.60答案　C解析　方法一　利用二项展开式的通项公式求解.(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.方法二　利用组合知识求解.(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.2.(2016·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)A.－15x4B.15x4C.－20ix4D.20ix4答案　A解析　由题可知，含x4的项为Cx4i2＝－15x4.选A.3.(2015·安徽)7的展开式中x5的系数是________(用数字填写答案).答案　35解析　7的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C(x3)7－k·k＝C·x21－4k，令21－4k＝5，得k＝4，∴T5＝Cx5＝35x5.4.(2016·上海)在(－)n的二次项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________.答案　112解析　2n＝256，n＝8，通项Tk＋1＝C··(－)k＝C(－2)k·.取k＝2，常数项为C(－2)2＝112.高考必会题型题型一　求展开项例1　(1)(x2＋－2)3展开式中的常数项为(　　)A.－8B.－12C.－20D.20(2)(2016·山东)若5的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________.答案　(1)C　(2)－2解析　(1)二项式(x2＋－2)3可化为(x－)6，展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(－1)k·x6－2k.令x的幂指数6－2k＝0，解得k＝3，故展开式中的常数项为－C＝－20，故选C.(2)∵Tk＋1＝C(ax2)5－kk＝a5－kC，∴10－k＝5，解得k＝2，∴a3C＝－80，解得a＝－2.点评　应用通项公式要注意四点(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.变式训练1　(1)(9x－)n(n∈N*)的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为(　　)A.252B.－252C.84D.－84(2)(1－x)(1＋2)5展开式中x2的系数为________.答案　(1)C　(2)60解析　(1)第3项的二项式系数为C＝＝36，n＝9，其通项公式为Tk＋1＝(－)kC(9x)9－k＝(－)k99－kC，当9－k＝0，k＝6时，为常数项，常数项为(－)699－6C＝84.(2)因为(1＋2)5展开式的通项公式为Tk＋1＝C·2k·，所以(1－x)(1＋2)5展开式中x2的系数为1×C×24－×C×22＝60.题型二　赋值法求系数之和例2　(1)对任意的实数x，有(2x－3)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6等于(　　)A.－12B.－6C.6D.12(2)若(2x－1)2013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2013x2013(x∈R)，则＋＋＋…＋等于(　　)A.－B.C.－D.答案　(1)A　(2)D解析　(1)由(2x－3)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，两侧求导，得a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＝12(2x－3)5，令x＝1，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝12(2×1－3)5＝－12，故选A.(2)因为(2x－1)2013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2013x2013(x∈R)，令x＝0，则a0＝－1，a1＝2C(－1)2012＝2C；令x＝，则a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋＋…＋＝(a1＋＋＋…＋)＝(a0＋a1＋＋＋…＋)－＝(2×－1)2013＋＝.点评　(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.变式训练2　(1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a0＋a1＋a2＋…＋an＝126，那么(－)n的展开式中的常数项为(　　)A.－15B.15C.20D.－20(2)若(1－5x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，那么|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值是(　　)A.1B.49C.59D.69答案　(1)D　(2)D解析　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝2×＝2n＋1－2＝126⇒2n＋1＝128⇒2n＋1＝27⇒n＝6，又Tk＋1＝C()6－k(－)k＝C(－1)kx3－k，所以由3－k＝0得k＝3，则常数项为－C＝－20.(2)(1－5x)9展开式的通项公式为Tk＋1＝C(－5x)k＝(－5)kCxk，所以当x的指数为奇数时，其系数为负，所以在(1－5x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9中令x＝－1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝69，故选D.高考题型精练1.若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为(　　)A.1B.－1C.0D.2答案　A解析　令x＝1，得(2＋)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，又令x＝－1，得(2－)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4，所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(2＋)4(2－)4＝14＝1.2.设n∈N*，则5C＋52C＋53C＋…＋5nC除以7的余数为(　　)A.0或5B.1或3C.4或6D.0或2答案　A解析　5C＋52C＋53C＋…＋5nC＝C＋5C＋52C＋53C＋…＋5nC－C＝(1＋5)n－1＝(7－1)n－1＝7M＋(－1)n－1，M∈Z，当n为奇数时，余数为5，当n为偶数时，余数为0.3.设k＝(sinx－cosx)dx，若(1－kx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a8等于(　　)A.－1B.0C.1D.256答案　B解析　k＝(sinx－cosx)dx＝sinxdx－cosxdx＝－cosx－sinx＝2，所以(1－kx)8＝(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(1－2)8＝1，令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝(a0＋a1＋a2＋…＋a8)－a0＝1－1＝0，故选B.4.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于(　　)A.5B.6C.7D.8答案　B解析　(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，∴a＝C.同理，b＝C.∵13a＝7b，∴13·C＝7·C，∴13·＝7·，∴m＝6.5.(＋)5展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象大致为(　　)答案　D解析　由题意得，展开式的第三项为T3＝C()3()2＝10xy，所以10xy＝10，所以y＝，且x>0，故选D.6.设a∈Z，且0≤a<13，若512016＋a能被13整除，则a的值为(　　)A.0B.1C.11D.12答案　D解析　512016＋a＝(52－1)2016＋a＝C×522016－C×522015＋…＋C×52×(－1)2015＋C×(－1)2016＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2016＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，因为0≤a<13，所以a＝12.7.设f(x)是6展开式的中间项，若f(x)≤mx在区间上恒成立，则实数m的取值范围是(　　)A.(－∞，5)B.(－∞，5]C.(5，＋∞)D.[5，＋∞)答案　D解析　由于Tk＋1＝Ckx12－3k，故展开式中间的一项为T3＋1＝C·3·x3＝x3，f(x)≤mx⇔x3≤mx在上恒成立，即m≥x2，又x2≤5，故实数m的取值范围是m≥5.8.(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为________.答案　－210解析　(x2－x＋1)10＝[1＋(x2－x)]10的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(x2－x)k，对于(x2－x)k通项公式为Tm＋1＝Cx2k－2m(－x)m＝(－1)mCx2k－m，令2k－m＝3且m≤k≤10，m∈N，k∈N，得k＝2，m＝1或k＝3，m＝3，(x2－x＋1)10的展开式x3系数为CC·(－1)＋CC·(－1)3＝－210.9.已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且n是偶数，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝__________.答案　解析　由a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＝(2x－1)n，在区间[0，1]上，两边取积分可得：a0＋a1x2＋a2x3＋…＋anxn＋1＝(2x－1)ndx＝(2x－1)n＋1＝，即a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝.10.设an(n＝2，3，4，…)是(3－)n的展开式中x的一次项的系数，则＋＋…＋＝________.答案　17解析　令Tk＋1＝C3n－k(－)k＝C(－1)k·3n－k，令＝1，得k＝2，∴(3－)n的展开式中x的一次项的系数为an＝C(－1)2·3n－2＝C·3n－2，又C＝，则＋＋…＋＝32×(＋＋…＋)＝9×(＋＋…＋)＝18×[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝18×(1－)＝17.11.已知在(－)n的展开式中，第6项为常数项.(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.解　(1)根据题意，可得(－)n的展开式的通项为Tk＋1＝C(x)n－k(－x)k＝(－)kC，又由第6项为常数项，则当k＝5时，＝0，即＝0，解可得n＝10.(2)由(1)可得，Tk＋1＝(－)kC，令＝2，可得k＝2，所以含x2项的系数为(－)2C＝.(3)由(1)可得，Tk＋1＝(－)kC，若Tk＋1为有理项，则有∈Z，且0≤k≤10，分析可得当k＝2，5，8时，为整数，则展开式中的有理项分别为x2，－，x－2.12.已知n.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.解　(1)因为C＋C＝2C，所以n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.所以T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70.当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.所以T8的系数为C727＝3432.(2)因为C＋C＋C＝79，所以n＝12或n＝－13(舍去).设Tk＋1项的系数最大.因为12＝12(1＋4x)12，所以所以9.4≤k≤10.4.又因为0≤k≤12且k∈N，所以k＝10.所以展开式中系数最大的项为T11.T11＝12C410x10＝16896x10.